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剑桥数学博士郑乐隽:我也曾厌恶数学,然而“迟钝”一点的孩子,更像数学家

发表时间:2024-06-01 20:02作者:柯察金来源:外滩教育

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看点    数学是很多孩子头疼、害怕的学科,是不是只有天赋才能拯救?一直以来,剑桥数学博士郑乐隽都把“消除世界对数学的恐惧”视为终身奋斗事业。在她看来,讨厌数学的孩子更可能是教学方法不合适。眼下更紧迫的,不是怎么让孩子埋头刷题,而是从根本上改变对数学根深蒂固的种种错误印象

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文丨柯察金


不知何时起,要是说咱们的小孩学不好数学,那真有点放国际上都说不过去的感觉。


早在七、八年前,把教育做成产业的英国,居然开始大规模采用“亚洲传统数学教学方法”,并大力引进上海数学教材;国务大臣尼克·吉布甚至称,“中国的数学教学方法应成为英国学校的固定标准。”


然而,抛开“东亚孩子数学强”的标签,或许只有咱们自己心里清楚,中国小孩学数学学得有多辛苦:

从绝对数量上看,“考霸”能有几个?大多情况下,学生不过是硬着头皮考试,硬着头皮考砸,在一轮又一轮恶性循环中挣扎上岸罢了。且正因国人常被视作数学尖子,考数学不好的孩子等同于被判了“不聪明”的酷刑。


外滩君好奇,如果是数学家,会怎么看这个问题?就没有让大部分孩子学好且热爱数学的法子么?前几天和英国华裔数学家、剑桥大学数学博士郑乐隽女士(Eugenia Cheng)聊了聊,感觉国内对数学教育的误解不浅。


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郑乐隽博士(Eugenia Cheng)
图源© Brian McConkey

郑博士还是音乐、厨艺、语言等多方面的能手。举办过专业的钢琴、小提琴演奏会,能流利地说三门语言,也是烹饪达人。她曾在电视节目上“烘焙π”,用小提琴“演奏”函数……跟随她的脚步,数学王国有趣、浪漫且“美味”。


郑博士一针见血地指出,“认为东亚人很擅长数学”,实为社会刻板印象。在她所接触过的学生里,不少来自中国、韩国……但他们眼里有的只是对数学深深的恐惧。


郑乐隽掷出了振聋发聩的声音:


孩子擅长考试和擅长数学并无必然联系,而她作为数学家,其实并不欣赏“考霸”;


对于基础教育阶段的数学学习来说,不存在“不聪明”的孩子;


孩子们抗拒数学,不是他们不够勤奋,而是因为教育者对数学的看法,本身就出现了严重的误解和偏差……


“我的理想之一,就是帮所有孩子消除对数学的恐惧”,基于这个目标,她在任教、做研究之余,常年热衷于数学科普,笔耕不辍,是英国《卫报》等重要图书奖的常客。


最近一本《数学的逻辑》热乎面世,郑乐隽继续用诙谐的笔调,帮孩子用更开放的方式理解数学原理和公式,重新认识数学。


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《数学的逻辑》,中信出版社


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“我也曾厌恶数学”


如果你的孩子对数学的兴趣正处在“没精打采”期,不必太担心,因为孩子有可能正收获数学家同款进步曲线呢。


郑乐隽直言,在她十岁出头的时候,也曾非常厌恶数学。为此她还画了副颇形象的草图,表示随着时间的推移,她对数学课的复杂态度:


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可以清晰看到,成也兴趣,败也兴趣。兴趣如同逆水行舟。如果教育的“打开方式”不当,即便是数学家也很有可能途中泄气。


01

“妈妈为我展示数学的奇妙屋”


5岁刚知道数学是怎么回事时,郑乐隽就对数学产生了好感。最初的引路人是妈妈。


郑乐隽小时候在英国的乡村长大,经常和妈妈在海边沙滩上一玩就是几个小时。陪伴童年的,除了英格兰的秀美风光外,还有妈妈带女儿看到的另一些“风景”——她们总在一起讨论有关数学的谜题


作为孩子,第一次扣进数学半掩的门扉时,她看到的便是一种创造性的,开放式的活动,里面充满了游戏和探索。比如使用以不同方式连接的彩色块来学习数字,将这些形状组合在一起,用它们讲述不同的故事。


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郑乐隽还记得妈妈教她如何画 “x 平方”的图形,当她看到“一的平方是一,二的平方是四,三的平方是九……”被妈妈魔术般地变成一幅画时,“我记得当时坐在家里的绿色大椅子上,感觉大脑正在爆炸。后来,每当我遇到一个新的概念时,仍然会有同样的感觉。”


她对此觉得幸运,因为小时候母亲就让她看到了数学极为色彩斑斓、充满奇妙与想象的一面,与课本里展示的内容完全不同。


“这让我有了一个坚定的信念:数学不仅仅是课本里的东西,更是一门有趣、神秘、令人兴奋、又令人难以置信的学问。”


02

“我能理解孩子为什么讨厌数学”


郑乐隽与数学的“初恋”,在小学阶段不断走下坡路,到了初中,更是开始“彻底厌恶这门学科”,觉得它既乏味又迂腐。


“然而,我一点儿也不责怪我的老师,这都是课程设置和考试制度的问题。”


可能也正因此,郑乐隽特别能理解为什么现在很多孩子会抗拒数学、厌恶数学——理由或许很简单:孩子本就倾向于抗拒一切无趣的事物。


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而在十来岁,当她开始接触少许高等数学之后,情况有了一些改观,尤其是普通中等教育证书(GCSE)的研究项目,令她重拾对数学的乐趣。“那都是一些开放性的课题,每个学期需要花费几周的时间来完成。我们从一个结构严谨的问题出发,独立探索由它引发的无限可能性。”


上了大学后,事情开始“真正好转”。等到攻读博士学位时,郑乐隽对数学的喜爱程度已经超过了曲线所能表示的范围——而那个时候她已经不再上课,完全是通过阅读、集体讨论以及参加研讨会来进行学习。


可以看出,一个孩子对数学的好恶,和他是否为天赋型选手并没有绝对的因果关系,而是取决于他对数学的信念——“数学是什么”,“数学怎么学”。


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郑乐隽表示,人们常认为数学和高智商是孪生关系,但这犯了固定思维的错误。科学研究已经证明,智力是一种动态成长的综合要素,它很宽泛,它在不断生长,所以最无知的不是“笨小孩”,而是给孩子贴上负面标签的大人。


另外,人们往往高估了“学数学”这件事所需的天赋。她承认,要成为拉马努金那样的数学家,天赋的确非常很重要,“必须是一个不世奇才,对数字有一种令人无法理解、近乎魔法般的解读能力,并且有能力从迷雾中找到真相”。


然而拜托,基础教育的“学数学”和拉马努金之间的距离,遥远到任何恐慌都是小题大作。


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多年来,郑乐隽作为美国芝加哥艺术学院(School of the Art Institute of Chicago)的常驻科学家,坚持给一群“艺术生”授大学数学课程。


这些学生里,并不乏中国及其他亚洲地区的孩子,本该人均考霸的他们,多数却视数学如“猛虎”。为了逃避数学被迫选择人文学科的,大有人在。


郑博士问,是什么让你们觉得如此不愉快,学生的回答集中在几个方面:“背诵”“定期测验”“正确和错误的答案”以及“因为犯错误而感到愚蠢”。


这些原因,都并不直接与数学有关。主语换成其他学科,情况没有什么不同。


幸运的是,在上过郑博士的课后,很多“艺术生”都说他们打开了一个新世界,前所未有地体会到数学独特的乐趣与奥妙。他们难以想象,曾经痛恨并想要逃离的学科,最终会以一副全新的可爱面貌迎接他们。


而如她所料,“艺术生”“文科生”对数学常常有着更加敏感的、更具想象力的观察,并不比擅长测试的“考霸”们逊色。


“数学并不是像考试题里的那样。”郑乐隽想告诉所有孩子这一点,“学生厌恶数学的原因是非常不幸的,但完全不是基于数学真正的本质。


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非黑即白的世界

才不是数学


在郑乐隽这样的数学家眼里,传统教育把数学的唯一目标,变成了“获取标准答案”,于是,孩子们眼里的数学学习,也自然地等同于做题和拿到高分。许多数学教材只关注那些复杂的公式,却没有教会孩子如何跳出题海,正视数学本身究竟为何物。


她所希望的,是消除学生对数学狭隘的、缺乏想象力的认识,用有趣的数学思维理解我们的真实世界。


01

一加一不等于二?


相比又快又准心算的孩子,郑乐隽更希望看到的,是孩子对数学内在的好奇。看到父母们在互联网上贴出的无忌童言,她常常感到兴味盎然:


如果我给你一块蛋糕,再给你一块蛋糕,那么现在你有几块蛋糕?

一块都没有,因为我把它们都吃掉了。


瞧,在孩子的世界里,1+1未必等于2——


1+1可能等于1。“就像一位艺术系学生指出的那样,如果把一种颜料与另一种颜料混合在一起,只能得到一种颜色。”


1+1可能大于2。“把一只公兔子与一只母兔子放在一起,之后很可能得到一大群兔子。”


……


一位刻板严肃的数学老师可能会觉得,这些都是牵强附会,并非真正意义上的“相加”。然而在数学家眼里,这些假设和猜想,恰恰代表了数学王国的起源。

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数学家更希望去研究而不是忽略这些具体的场景,只有更好地了解它们,才能更深入地理解在什么情况下1+1等于2。就好比郑乐隽在学驾照时,教练曾让她故意把车搞熄火,这样才能更好地了解离合器的作用。


“探索某件事什么时候不起作用,能让我们更好地理解它什么时候起作用。”


很多人都觉得数学是绝对理性的,因为数学通常来自于严格强加的规则。“这种非黑即白的僵化世界观,仅仅是对数学的一种极为狭隘的理解。”


抽象的数学其实并没有明确的正误之别。数学是理性的,但也是感性的。越是高深的数学研究,越是富有感情,也正是这些类似“1+1为什么等于2”这种微小、简单、天真、浪漫的问题,在推动着数学前沿的发展。


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数学不仅关乎得到正确的答案,而且关乎如何知道答案是正确的。比方说,乘法表,小学生都要背诵。“数学高手”往往很快就掌握了基本的乘法表。这让人觉得他们好像记住了所有的内容,然后制造了一种假象,即背诵乘法表是学好数学的关键。


事实并非如此,郑乐隽的导师马丁·海兰给她讲了一个他小时候与乘法表的故事:


在他8岁的时候,班里每天都要测验乘法表,如果有学生连续3天答对了所有的问题,那就不需要再参加测验了。


他是班里唯一一个从未答对所有问题的孩子,也是班里唯一一个后来成为享誉世界的数学家和剑桥大学教授的人。


正如他所说,他“总是记不住那些看似毫无意义的事情”,但是“对见解形成的过程有良好的记忆力”


抽象数学就是见解形成的过程,但可惜的是,太多的孩子把乘法表当成只需要死记硬背的无意义的工具。


一个非常有趣的现象是,数学家热爱数学的原因,其实与厌恶者讨厌它的原因一样:他们喜爱数学的精妙之处和细微差别,并用它们来表述、探索生活中最有趣的东西。


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从根本上说,数学逻辑体现的不是一个不明确的答案,而是一个可以不断让我们在其中探索各类真相的世界。


郑博士坦言,如果孩子觉得自己不擅长数学,那么完全有可能,他只是在探寻对数学更深层次的理解,而身边没有人能帮助到他。


02

数学规则并不是为了“束缚”


学生们形成这样一种印象:数学源自权威,真理自上而下传达,就像法令,必须循规蹈矩,不能质疑。


这不仅是对数学的曲解,而且是传递给孩子们的危险态度。


宣称某事永远正确,就像为其构筑了一道高墙。“当数学成了一个不得不去遵守的规则世界,难怪它会给人僵化、枯燥之感。相比之下,我对数学的热爱,源于我对打破规则的热爱。


很多教育者对于数学规则的理解,完全本末倒置了。


举个例子:为什么在“质数”里,不把“1”包含进去?


一般老师的解释会是,这是数学上的规则;博学的老师的解释会是,欧几里得就是这么说的。


然而,数学家在规定“质数”的概念时,不在于这个名字听上去很酷,而是因为他们思考问题的时候需要这么一个工具和脚手架。


事情是这样的:1不是一个合格的、利用乘法规则构建自然数世界所需的基本构成要素,所以,数学家“抛弃”了它,这和任何人的“规定”没有关系。


也就是说,规则并非不可置疑,规则的出现,是由于解决问题的需要。


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数学的规则,不是一种束缚,而是一种思考方式。数学的本质,是解决问题的手段。


儿童的天性是喜欢寻找反例,这恰恰是数学所真正需要的。可传统的教育体系,已经和数学的本质背道而驰。


郑乐隽说,以她个人的力量无法改变世界上的考试制度,这是她写了那么多书,甚至到脱口秀节目去科普数学的原因。


此外,她觉得家长也有很多可以做到的事情,能帮助孩子朝着健康的方向,激发对于数学的兴趣。而做到这一点的家长,不需要是专业的数学家。


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“第一步,家长别说自己数学差”


郑乐隽观察到家长很喜欢问这样一个问题:我数学也不好,请问我该怎么辅导孩子的功课?


她强调,“相当多的父母习惯性地表达他们对于数学的惊慌。我认为第一件非常重要的事情是,不要只是宣布你的数学不好。这听上去像一种辩护——似乎数学不好很正常,数学不好也没关系。


就像打哈欠会传染,“math phobia”(“数学恐惧症”)也会传染。孩子的心理格外敏感,能够清晰地感受到养育者对事物的真实态度。因此在郑博士看来,首要的就是家长改变对数学的态度与认知。


01

恭喜孩子提出了伟大的问题


在学校的数学课上,我们总是强调如何回答问题,反而忽视如何提出问题。


回到家,很多家长会自责,数学水平早就还给了学校,没法顺利地辅导孩子功课了。可是,这依然是结果导向,不是么?一道道待解的课后习题,等着孩子去填满。


郑乐隽说,这是孩子自己的功课,不是家长的功课。如果只是为了得到确定答案,AI已经大部分能够做到。


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当孩子向家长提问时,他们期待的回答不会是“爸妈数学不好”或是“问人工智能吧”。郑博士表示,我们真正不妨做的,是恭喜孩子提出了伟大的问题。


她授课时,总是鼓励学生提出探索性的问题。人们往往把问题分成“好问题”和“蠢问题”两类,但她更倾向于把问题分为孩子真正想要深入理解某些事物的问题,和那些试图展示自己有多聪明的问题。


孩子为了真诚地理解某些事物而提出的问题,在她看来都是好问题而且乍看之下,越幼稚的问题越能引发我们的思考。


比如,一个圆究竟有几条边:一条都没有(因为没有直线边)、一条边(整个一条曲线),还是有无数条极短的边?


当家长收获这些“奇奇怪怪”的提问时,不如给孩子诚恳的夸赞,“你真的发现了一个好问题!”;就算大人无法直接回答这些提问,也不要用恐慌、逃避的态度面对,可以带孩子尝试寻找它们的解决方案,并从中鼓励孩子更多地提问。


积极鼓励孩子提出那些貌似天真,但难以回答的问题,尤其是当你不知道该如何回答的时候。我希望我们都能学会用孩子般的心态接近数学,既不要求自己无所不知,也不期望他人全知全能。相反,我们应当把每一个不理解的时刻,都当作拓展自己和孩子思维的大好机会。”


02

“迟钝”一点的孩子,更像数学家


正如诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼在《思考,快与慢》中提到,人脑中往往拥有两套思考系统,即“快思考”与“慢思考”。


在传统教育与标准化考试下,“快”成了绝对的王道。孩子越来越被要求快思考,与之相对应地,也正丧失着慢思考的能力。


和快思考相反,慢思考是主动的、自发的,因为慢思考需要努力集中注意力,并进行有意识的思考。


在郑博士看来,以为答案相同并非理所当然的孩子,要比认为它的确理所当然的人更像数学家。但是后者更有可能以最快的速度完成作业,并受到表扬,而前者坐在那里苦苦思索,对数学似乎有那么一点儿迟钝。


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她认为从广义上来说,有三个原因让数学成为正规教育的重要组成部分。


前两个原因分别是实用性基础性


但第三个原因往往被忽略——即数学是一种思维方式(比如郑博士主研究的“范畴论”所突出的抽象性思维),可以在几乎所有领域发挥强大的作用,它具有超高的广泛相关性。


“从某种程度上说,数学作为一种思维方式也最不被重视。我们的教育其实走错了方向。”



文章分类: 国际教育